Практика — теория

ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ С ДАЛЕКО ИДУЩИМИ СЛЕДСТВИЯМИ: Может ли связь ускорять движение? | Груз на двух нитях | Простейшая стержневая конструкция

Простейшая стержневая конструкция

А. Ю. Косицын

Разобраться в поведении стержневых конструкций могут помочь простые примеры.
Простейшая конструкция (см. рисунок) может состоять всего из двух стержней ОА и ОВ, соединенных в точке О шарниром. Пусть эта конструкция предназначена для того, чтобы поддерживать груз весом Р.

Если рассмотреть равновесие узла О, предположив, например, что стержни ОА и ОВ растянуты, то получим следующую систему уравнений:

Решая второе уравнение, получим, что

(стержень ОВ сжат).

Из первого уравнения получаем        (стержень ОА растянут).

С уменьшением угла до нуля растягивающие усилия в первом стержне и сжимающие во втором неограниченно растут.
Элементы такой конструкции с малым углом испытывают сильные перегрузки, и поэтому конструкция будет ненадежной. Стержень ОА будет испытывать значительное растяжение и может разорваться. Сжатый стержень ОВ может потерять устойчивость и согнуться.

В простых случаях понять какой стержень сжат, а какой растянут можно и не составляя уравнений равновесия. Представьте себе, что вместо стержня – Ваша рука. В одном случае рукой нужно будет тянуть (растяжение), в другом – толкать (сжатие).

Оптимальный вариант

С. Я. Бекшаев

Задана длина вылета ОА=l. При каком конструкция будет иметь наименьший вес?
Вес стержня 2 пропорционален его объему

где - площадь поперечного сечения стержня, которая пропорциональна усилию

Тогда

(предполагается, что стержни выполнены из одного материала, т.е. ).
Применяя стандартные приемы дифференциального исчисления к поиску минимума функции

можно найти соответствующее оптимальное значение .