Олимпиада по теоретической механике 2001 года
(кафедра теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского университета)
Задача № 1

Диск радиуса r катится внутри цилиндрической полости радиуса R, прижимая тонкий обруч радиуса p (r< p< R), как показано на рисунке. Проскальзывание при движении отсутствует. Найти угловую скорость обруча, если линейная скорость центра диска равна v0.





Задача № 2


Тележка А скатывается с постоянной скоростью по прямолинейному наклонному пути, сматывая трос с барабана и заставляя последний вращаться. Найти зависимость между длиной пути x, пройденного тележкой из состояния покоя A0 и угловой скоростью ωx вращения барабана.





Задача № 3


Небольшой брусок массой m, находившийся на абсолютно гладкой полусфере радиусом r в положении A0, получив начальную скорость V0, соскальзывает по ней. При каком φ брусок оторвется от полусферы?





Задача № 4
Круглая горизонтальная платформа может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Человек начинает движение от края платформы со скоростью v и, выдерживая эту скорость постоянной, движется по диаметру платформы.
Какую работу совершит человек на пути от края платформы до ее центра? Момент инерции платформы относительно оси вращения равен J, радиус R, ее начальная угловая скорость ω0. Человека считать точечной массой m.
Рассмотреть движение человека в системе отсчета, связанной с вращающейся платформой, и указать условия, при которых скорость человека будет постоянной.


Задача № 5

Дельфин массой m выпрыгивает из моря под углом α к горизонту и поднимается в воздух на высоту h. Определить силу тяги Т, развиваемую дельфином в воде, предполагая эту силу постоянной. Считать, что дельфин движется по воде Δt секунд из состояния покоя при постоянной силе сопротивления R. Вес дельфина в воде G уравновешивается архимедовой силой поддержания P; при движении дельфина над морем сопротивлением воздуха пренебречь.



Задача № 6
По шероховатой наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом, катятся примыкая друг к другу вещественно симметричные цилиндры А и В, имеющие одинаковые радиусы r и одинаковые массы m, но различные моменты инерции относительно осей симметрии: mr2 - для цилиндра B и Vmr2 - для цилиндра А, где 0< V< 1. По плоскости цилиндры катятся без скольжения. Коэффициент скольжения между цилиндрами равен f. Определить ускорение w центров, а так же давление N цилиндра А на цилиндр В.
Определить tg α0, где α0 - наибольший угол наклона плоскости, при котором еще возможно качение катков без скольжения. Коэффициент трения скольжения шаров по плоскости считать равным коэффициенту трения скольжения шаров между собой.