Исследования Леонардо в области определения опорных реакций косо поставленной балки или стержня должны быть признаны, независимо от результатов, новым Словом техниче- ской науки. Эти исследования имеют некоторый прецедент только в рассуждениях Герона, излагающих соответствующее сочинение Архимеда о колоннах и принимаемом ими весе, несомненно, Леонардо неизвестных, а также, может быть, в элементарных, но, вероятно, известных ему рассуждениях "Механических проблем" о распределении нагрузки, несомой на шесте. Еще более оригинальными, смелыми и как бы смотрящими в будущее являются его штудии из области сопротивления материалов. Здесь, конечно, Леонардо является пионером, смело ставящим проблемы и не менее смело, хотя и не точно, как увидим ниже, их разрешающим. Единственный прецедент в этой области — замечания тех же "Механических проблем" о большом прогибе более длинной палки вряд ли могли дать большее, чем некоторый предварительный толчок мысли, — настолько они кратки и элементарны. С большей степенью справедливости в качестве предшественника Леонардо в данной области может быть назван Альберти с его замечанием о том, что при равной толщине более короткие канаты крепче, а более длинные слабее. Но, поскольку Альберти никак не развивает брошенной им и почти несомненно подхваченной Леонардо мысли, он вряд ли может претендовать на звание отца сопротивления материалов. Звание это, несомненно, должно по праву принадлежать Леонардо да Винчи.

Отправным пунктом изысканий Леонардо в данной области, так же как для Альберти, возможно, послужила его строительная деятельность. Вспомним объяснительную записку его к проекту тамбура Миланского собора с ее требованием к врачу-архитектору выяснить, "какова природа тяжести, и каково стремление тяжести, и каким образом тяжести должны быть сплетены, связаны вместе и соединены, и какие действия рождают".

И мы сразу поймем, что мимо вопросов из области сопротивления материалов молодой техник, стремившийся на все технические проблемы (равно как и на проблемы нетехнические) посмотреть по-новому, не мог пройти равнодушно. И действительно, вопросы из этой области занимают его главным образом во время работы над тамбуром Миланского собора, и именно в кодексе "А", современном этим работам, мы находим наибольшее количество записей, относящихся к проблеме сопротивления материалов.

Основным и первым вопросом, к которому в этой связи обращается Леонардо, является зависимость сопротивления на сжатие и изгиб различного рода колонн и пилястров от их толщины и высоты. Ведь одной из основных черт архитектуры высокого итальянского Возрождения, представителем которой являлся и Леонардо, было широкое и повсеместное применение колонн и пилястров, поддерживающих все наиболее мощные своды, все наиболее грандиозные куполы. В архитектурных зарисовках Леонардо миланского периода обилие таких колонн бросается в глаза. Поэтому естественно, что именно к этому теоретическому вопросу он подошел в самом начале своей научно-технической деятельности. По-видимому, наиболее раннюю запись по этому вопросу, показывающую, как обычно, экспериментальную, и притом весьма элементарную базу, на которую он ставил разрешение вопроса, мы находим еще в кодексе "В".

"Если один прут (рис. 177) будет иметь такое же отношение между своей толщиной и длиной, как и связка таких прутьев, то он будет сам по себе так же крепок и обладать таким же сопротивлением, как эта связка сама по себе. Так, если эта связка имеет 9 мер длины и выдерживает 9 унции и составлена из 9 соединенных вместе прутьев, то один из подобных же прутьев в 9 мер длины будет выдерживать одну унцию.

"Пусть к вершине прута приложен вес в один динар; ты увидишь, что он согнется до земли, но возьми тысячу этих прутьев и туго свяжи их вместе, и укрепи их снизу, и сравняй их сверху, — и ты увидишь, что, в то время как по первому соображению (ragiorie) они должны были бы выдерживать около 3 ? фунтов, они будут выдерживать больше 40" (В. 89 v.).

Приведенная запись содержит, как уже сказано, результат первых опытов Леонардо, имевших целью определение сопротивления колонн. Не исключена возможность того, что опыты эти были навеяны известной в XV в. дидактической новеллой о поучении отца сыновьям, в которой отец показал на примере прутьев преимущество совместных действий; во всяком случае они еще крайне просты и незамысловаты. Запись, очевидно, распадается на две части. Первая постулирует известное положение: при равном отношении между длиной и толщиной опоры их сопротивление будет равным, а при уменьшении или увеличении одной из этих величин оно пропорционально уменьшается или увеличивается; так, если уменьшить в несколько раз толщину (понимается, очевидно, диаметр прута) при сохранении длины, сопротивление уменьшится во столько же раз. Однако после производства опыта уверенность в правильности только что высказанной зависимости у Леонардо исчезает. Наоборот, он констатирует, что при сохранении длины и уменьшении толщины в несколько раз сопротивление сокращается не во столько же раз, а гораздо больше. Расшифровкой этой зависимости, совершенно правильно подмеченной им, он в дальнейшем упорно занимается на ряде страниц кодекса "А", непосредственно примыкающего в "В". Так, уже на одном из первых страниц этого кодекса он заносит следующую запись, основанную, так же как и предыдущая, на простейших экспериментах.

"Об опорах. Несколько малых опор, соединенных вместе, выдержат больший вес, чем если они будут разделены. Например, 1000 столбиков одной и той же толщины и длины, если ты поставишь каждый из них вертикально, согнутся под нагрузкой какой-нибудь одной единицы веса; если же ты свяжешь их вместе так, чтобы связки заставляли их соприкасаться, то каждый из столбиков сможет выдерживать, не сгибаясь, в двенадцать раз больший вес, чем раньше... Если из двух отдельно стоящих колонн каждая в состоянии выдержать нагрузку в 1000 фунтов, то, при их соединении, они выдержат 3000 фунтов" (А. 3 v.).

Здесь опять констатируется, что при сохранении высоты опоры и при увеличении ее диаметра сопротивление ее растет не пропорционально росту последнего, а значительно больше. Однако какого бы то ни было закона, которому подчиняется это "больше", Леонардо в этих ранних записях не дает, а определяет его прямо на глаз. Если же мы попытаемся написать в алгебраических выражениях приводимые им в двух рассматриваемых нами записях примеры, то получим, что в двух местах первой и начале второй он утверждает следующее: если опора при отношении ее диаметра к высоте выдерживает определенный вес, то тысяча таких же опор, для которых, очевидно, это отношение изменится, выдержит вес не в тысячу и не в сто раз, а в двенадцать тысяч раз больший. Во второй части второй записи утверждение Леонардо гласит, что если при определенном отношении диаметра опоры к ее высоте эта опора выдерживает 100 фунтов, то две такие же опоры, будут выдерживать 300 фунтов. Таким же образом Леонардо утверждает, что сопротивление опоры растет не пропорционально отношению диаметра к высоте и не пропорционально площади сечения опоры — величине r2, а пропорционально этой площади, помноженной на некоторую, экспериментально устанавливаемую в каждом случае величину. При увеличении площади в 1000 раз величина эта будет равна 12, при увеличении ее в два раза она будет равна 2/3 и т. д.

Разобранное выше чисто эмпирическое решение абсолютно новой и впервые ставящийся Леонардо задачи, очевидно, не удовлетворяет его самого. На дальнейших страницах того же кодекса "А" мы находим постановки той же задачи в двух ее вариантах: как изменяется сопротивление при сохранении высоты и увеличении сечения, и как оно изменяется при сохране- нии сечения и увеличении высоты?

"Если нить в один локоть поддерживает сто фунтов, то, сколько фунтов поддержит нить такой же толщины, но длиной в сто локтей?" (А. 5 r.), или: "Если нить выдерживает сто фунтов, то, сколько выдержат десять таких же нитей, тесно скрученных вместе?

"Если деревянная опора поддерживает сто фунтов, сколько поддержат десять таких же деревянных опор, тесно связанных вместе?" (А. 6 r.).

В этих кратких и лаконических записях мы ясно видим программу элементарных опытов, которые Леонардо предполагает поставить для решения занимающей его задачи. При этом замечательно, что, фиксируя на следующих страницах того же кодекса "А" последовательные и разнообразные попытки дать правильное решение этой задачи, Леонардо постоянно перемежает и нередко спутывает ее с другой задачей, близкой ей по формулировке: как изменяется давление тела на опору, поддерживающую его, при изменении его высоты и сохранении сечения, а также при сохранении высоты и изменении сечения. Данную задачу в трактовке Леонардо мы разберем несколько ниже — теперь же укажем на следующее. Очевидно, не удовлетворившись приведенными выше краткими записями о необходимости производства опытов для выяснения зависимости сопротивления опор от изменения их измерений, Леонардо через несколько десятков страниц в том же кодексе следующим образом подробно описывает разработанную им специально методику производства этих опытов, сопровождая описание соответствующей зарисовкой с подписью "опыт".

"Ты произведешь опыт следующим образом. Приготовь две железные проволоки, вытянутые на вытяжном стане квадратного сечения, закрепи одну внизу двумя закрепами, нагрузи ее cверху равномерным весом и заметь, когда она начинает сгибаться; проделай то же на проволоке с противовесом внизу и заметь, на какой ступени она начинает сгибаться; затем удвой ее в 2 двойные и соедини их тонкой шелковой нитью, обернутой вокруг, и увидишь, что этот опыт подтверждает мои соображения; таким же образом проверь их на 4 двойных и так постепенно, насколько тебе представится нужным, все время связывая редкими витками шелка" (А. 47 r.)

Методика опыта в данном случае, как нередко у Леонардо вполне ясна и хотя не должна была дать сколько-нибудь точных результатов, поскольку сопротивление на сжатие определяется моментом наступления изгиба испытуемого стержня все же должна была приблизить к правильному результату, И действительно, приведенная запись продолжается описанием конкретного случая, очевидно проанализированного при помощи разобранной установки и затем, как обычно, добавочно рассматриваемого "научно", т. е. путем логических рас- суждений:

"При ширине (il diamrtro) опоры вдвое большей, чем (ширина) другой, (первая опора) будет выдерживать 8 раз столько же веса по сравнению с другой опорой такой же высоты.

"Это обнаруживается вполне ясно, ибо если первая опора (рис. 178), имеющая определенную ширину, выдерживает 100, то вторая, удвоенная по квадрату (di quadrato duplicafcione), содержит в себе 4 такие же опоры, как первая, но так как, имея 4 ширины, она уменьшает наполовину надлежащую высоту и настолько же повышает силу, то если раньше она выдерживала (100 фунтов), теперь, будучи в четыре раза больше по толщине по сравнению с первой и будучи кроме того вдвое более сильной, она выдерживает вдвое больше, что дает 800 фунтов" (А. 47 r.).

В настоящей записи, окончательный результат которой, как мы отмечали уже выше, получен, невидимому, им из опыта, Леонардо рассуждает так.

Если обозначить сторону сечения первой опоры через а, а второй через 2а, то поддерживающая груз площадь второй опоры превратится в 4а2, а так как высота опоры h останется без изменения, то отношение стороны сечения к этой высоте, величение которого, как уже подмечено Леонардо, пропорционально увеличению сопротивления, т. е. удвоится; все же сопротивление второй опоры, в результате, выразится отношением.

Окажется, значит, что сопротивление вертикальной опоры равно частному от деления площади сечения на отношение высоты ее к стороне этого сечения.

Как отмечают все исследователи (Шустер, Марколонго, Харт), формула эта вполне правильна в первой своей части, утверждающей, что сопротивление прямо пропорционально площади сечения опоры, но ошибочна во второй части, поскольку в правильной формуле в знаменателе должно стоять то же отношение, которое стоит в нем у Леонардо, но не в первой степени, а в квадрате. Таким образом, в примере, приведенном выше, сопротивление большей опоры будет не в восемь, а в шестнадцать раз больше сопротивления опоры меньшей. Это объясняется значительной неточностью проделанных для обоснования формулы экспериментов. Однако и в таком, по своему результату ошибочном, виде формула Леонардо в высшей степени замечательна. Во-первых, она, бесспорно, является первой формулой из области сопротивления материалов, вводимой в науку; во-вторых, она все же в основном правильно схватывает структуру действительно существующей зависимости, устанавливает пропорциональность сопротивления площади сечения опоры и обратную пропорциональность отношения высоты ее к стороне этого сечения и ошибается только в степени. Очевидно, глубокое проникновение в самую физическую сущность технических явлений, с которыми ему приходилось оперировать, исключительно острый глаз художника-экспериментатора, как бы анатомирующий все, попадающее в его орбиту, подсказывают в данном случае такое решение, которого не могли дать ни элементарная математика, находившаяся в распоряжении Леонардо, ни неточно проводимые эксперименты, которые должны были, но не могли проконтролировать конечные результаты, что и дало в конце концов неправильную формулу. Конечно, ни в коем случае не следует думать, что Леонардо ясно и четко представлял себе приведенную выше формулу и, раз выведя ее, мог принять в каждом отдельном случае для решения той или иной конкретной задачи. По-видимому, хотя формула эта и могла быть выражена в виде простой пропорции, что было необходимо с точки зрения Леонардо, она все же была слишком сложной и запутанной, чтобы он мог добиться ее общей формулировки. Поэтому, решая конкретную задачу, он в каждом случае наново разворачивает всю аргументацию, приводящую к решению, как бы проверяя себя каждый раз. Примеров этому мы имеем значительное количество в записях кодекса А; приведем один из наиболее характерных:

"Всякая опора представляет собой тем большее сопротивление положенному на нее весу, чем более соединены между собой и крепки ее части.

"Всякая же часть, которая будет разделена по всей высоте опоры равномерной толщины, будет тем более слабой по сравнению с тем, как она была соединенной, чем большее число раз ее ширина (diametro) помещается в ее высоте по сравнению с тем числом, которое имелось во всей величине объединенной опоры.

"Пусть, скажем, имеется (рис. 179) квадратная (в сечении) колонна высотой в 10 равных частей и толщиной в одну, причем она сопротивляется 320 фунтам веса. Я хочу разделить ее по длине на 16 равных частей, которые до деления выдерживали каждая 20 фунтов, ибо 16 на 20 дает 320, а когда они будут разъединены и отделены друг от друга, то ты увидишь, что каждая из них сама по себе будет настолько тонкой, что ее ширина будет помещаться на ? больше раз в ее высоте, чем было раньше в первой соединенной колонне, ибо в последней она помещалась 10 раз в своей высоте, эта же помещается 40 раз, почему она выросла на ? сверх должной пропорции и силы; и если раньше, будучи соединенной, она сопротивлялась двадцати фунтам, то теперь она не будет сопротивляться более чем 5, ибо 16 раз 5 дает 60 (ошибка Леонардо — надо 80. — М. Г.) так что с первой объединенной силы сбавляется 260 фунтов — точно.

"Насколько разделенные по длине части опоры делаются более слабыми по сравнению с соединенными, настолько разделенные поперек части опор увеличивают свою силу (р).

"Например (рис. 180), колонна квадратная (в сечении имеет длину) в 9 локтей и сопротивляется 900 фунтам; я сделаю из нее 9 частей и подставлю их под вес, который будет нагружать их согласно их сопротивлению. Я утверждаю, что по правилу, высказанному выше, каждый кусок будет выдерживать тем больше по сравнению о первой (колонной), чем он ниже, и, если он уменьшен на 8/9 своей высоты, то он возрастет на 8/9 своей силы, и если раньше он выдерживал 900 фунтов, я утверждаю, что 9 раз 900 даст 7200, — и так как имеется 9 кусков, то 9 раз 7200 даст 64 800" (А. 46 r.).

В этой длинной записи без труда можно выделить три части. Первая дает нечто вроде общей формулы для расчета сопротивления опоры, где Леонардо, в противоположность тому, что он фактически делает при этом расчете, принимает во внимание только отношение стороны сечения к высоте и ничего не говорит о площади сечения, влияние которой, как очевидное, возможно, подразумевается. Таким образом, формула, даваемая в первой части записи, оказывается неудовлетворительной или, в лучшем случае, неполной.

Вторая часть рассматривает частный случай, когда высота опоры, несущей 320 фунтов веса, остается неизменной, а площадь сечения уменьшается в 16 раз, т. е. сторона сечения уменьшается в 4 раза (оно квадратно). Тогда, по приведенной выше формуле, Леонардо должен получить сопротивление новой опоры из равенства х=5. Он действительно и получает эту величину, но не путем простого применения формулы, а путем сложной цепи рассуждений, в общем повторяющих путь доказательства самой формулы.

Третья часть записи пытается решить также частную задачу обратного порядка: определить сопротивление опоры, которая сохраняет сечение другой опоры, сопротивление которой (900 ед. веса) известно, но уменьшает в 9 раз ее высоту. При решении этой задачи Леонардо идет тем же путем, что и в первой, но в то время как в первой задаче он правильно множил площадь нового сечения на сторону его (4), во второй он ошибочно множит эту площадь на добавок высоты, т. е. на разность между старой и новой высотой, а не на частное от деления их, — на 8, а не на 9; поэтому он получает 900*8 = 7200 вместо 8100, которые он должен был получить, правильно применяя свою формулу.

Из этого примера мы совершенно ясно видим, что Леонардо очень нетверд в применении выведенной им зависимости, что ход его мысли далеко не ясен и что, как это явствует из даваемой им общей формулировки, он вполне четко сознает только влияние отношения между стороной сечения и высотой. Полную же формулу он умеет находить ощупью, не всегда точно и четко.

Несмотря на это, а может быть и именно вследствие этого, Леонардо далеко не ограничивается решением приведенных выше задач, а шаг за шагом решает все новые и новые. Так, на обороте страницы, на которой дана приведенная выше запись, он пытается решить аналогичную задачу для опор не квадратного, а круглого сечения, причем опять-таки разворачивает весь ход аргументации.

"Всякая опора, имеющая двойное отношение по сравнению с меньшей, будет выдерживать вдвое больше веса, чем меньшая, если каждая сама по себе соединена и цела.

"Причина этого ясно видна, ибо, хотя одна колонна будет по величине вдвое больше другой — меньшей и, как кажется, вследствие двойной величины она будет иметь большую силу, чем будучи ординарной, тем не менее, так как она увеличивает при увеличении ширины (в оригинале, очевидно, ошибочно — высоты) также вес, длина же ослабляет ее, то, соединив вместе все эти противоположности, находишь, что при всем своем увеличении она выдерживает только настолько же больше веса, сколько выдерживает меньшая, что точно подтверждается опытом (рис. 181). Из всех опор одного и того же материала и равной толщины та, которая будет более короткой, будет выдерживать настолько больший вес по сравнению с более длинной, чем она короче по сравнению с более длинной.

"Хотя невозможно окончательно доказать числовым образом (benche non si possa terminatarnente dimosfcrare per numero), каково увеличение тела, имеющего двойную величину по сравнению с другим, но все-таки можно несколько приблизиться к истине. Я нахожу, что его увеличение составляет 2/5 всей величины меньшего как по высоте, так и по ширине. И если из двух колонн одна одевает другую и ширина ее увеличивается на 2/5 первоначальной ширины, а отношение (между размерами) уменьшается на 2/5, то опора эта будет на 2/5 более сильной. И ты скажешь так: если первая колонна выдерживает 100 фунтов, то двойная второй пропорции выдерживает их 200, и так как она растет на эти 2/5 по высоте так же, как по толщине, то она имеет на 2/5 больше силы, чем, если бы она имела надлежащую высоту согласно (размерам) меньшей колонны. Поэтому, так как она на 2/5 сильнее цельной, в каковом случае она выдерживала бы 200, она прибавляет 2/5 от 200, т. е. 40, каковые положи на 200, и я утверждаю, что 240 будет сопротивление удвоенных и соединенных колонн" (А. 46 v.) (рис. 182).

В этой весьма запутанной и неясной записи, искаженной к тому же описками, что часто встречается в поспешно и небрежно составленных ранних тетрадях, Леонардо, очевидно, пытается определить, насколько увеличивается сопротивление колонны при увеличении вдвое ее объема. Эта проблема, невидимому, остро интересовала его, судя по тому, что он, в очень близких выражениях и приходя, примерно, к тем же результатам, возвращается к ней в записи листа 215 r. с. "Атлантического кодекса", нами, для краткости, не приводимой. При этом он констатирует, что точно определить, как здесь изменяются диаметр и высота колонны, он не может, но считает, что, примерно, они увеличиваются на 2/5 своих прежних размеров. Утверждение это, показывающее сравнительную скудость геометрических познаний Леонардо, очевидно еще не знакомого ни с Пачьоли, ни с его работами, не так далеко от истины, ибо ясно, что при увеличении объема вдвое и условии, чтобы диаметр и высота колонны росли одинаково, т. е. больше 6/5. Установив, что при росте объема вдвое диаметр и высота растут на 2/5 своих старых размеров, Леонардо сложной цепью рассуждений приходит к выводу, что при увеличении объема колонны, выдерживающей первоначально 100 единиц веса, она будет выдерживать 240 единиц. При этом он делает явную арифметическую ошибку, принимая 2/5 от 200 равными 40 вместо 80; но если, исправив эту ошибку, принять сопротивление большей колонны равным 280, то и здесь мы не найдем точного применения формулы, ибо при таковом мы получили бы новое сопротивление равным 274. Из этого видно, что о сознательном и четком применении Леонардо какой бы то ни было формулы (об этом постоянно говорят все исследователи) не может быть и речи. В каждом данном случае он путем более или менее сложных рассуждений подгоняет результаты своих экспериментов, не имея возможности объективно показать сопротивление опоры на сжатие, к той или другой общей формулировке. Он еще не может — вследствие неустойчивости результатов экспериментов или же из-за сложности соотношения — подняться до matematicha rorlezza, т. е. до формулировки общего закона. Что это так, показывает еще одна запись, приводимая обыкновенно не особенно внимательными исследователями (Шустер, Марколонго) как пример применения Леонардо разобранной нами выше формулы, но фактически имеющая с нею очень мало общего.

"Например, если ты возьмешь трубу (giungho), по высоте равную 100 толщинам, поставишь ее вертикально и положишь на нее одну унцию веса, то она выдержит се. Свяжи затем 100 труб вместе сплошной связью. Эти трубы составят тело, высота которого заключает 5 раз его ширину, и столько раз, сколько 5 помещается в 100, во столько раз это тело будет выдерживать больше веса, чем имея 100 раз свою толщину, и так как 5 помещается 20 раз в 100, то каждая труба будет этим связываньем выдерживать в 20 раз больше веса, чем раньше, т. е. если она раньше выдерживала одну унцию, то теперь будет выдерживать 20" (А. 48 у.). Мы предоставляем читателю проделать расчет данного случая по установленной выше формуле самостоятельно, со своей же стороны мы можем констатировать, что как бы ни относиться к утверждению Леонардо, по которому при соединении 100 труб отношение высоты к диаметру из 100 превратится в 5, мы никаким образом не получим по разобранной выше формуле результата, полученного Леонардо.

Таким образом, рассмотрение записей Леонардо о сопротивлении вертикальных опор приводит нас к следующим выводам: самая постановка вопроса исключительно свежа, своеобразна и плодотворна, но экспериментальная база элементарна и не может дать объективно правильных результатов, в связи с чем и не получается окончательной, точной формулировки. Иногда вырисовываются довольно правильные очертания этой формулировки, но при столкновении с первым, более или менее сложным частным случаем, они тонут в море неопределенных и неоформленных рассуждений.

Вопрос о сопротивлении вертикальных опор, как мы уже отмечали, Леонардо разработал в сравнительно большом количестве записей. Несколько реже он обращался к вопросу о сопротивлении горизонтальных опор, лежащих на двух основаниях, и еще реже к вопросу о балке, укрепленной одним концом.

Первый из названных вопросов, наряду с сопротивлением вертикальной опоры, занимает Леонардо еще в самом начале его научно-технического творчества. В рукописи "А" мы находим следующую запись:

"Если одна балка поддерживает тысячу фунтов, то сколько поддерживают четыре балки, положенные одна над другой?" (А. 5 r.) (рис. 183).

Как обычно, Леонардо начинает с постановки вопроса и, очевидно, с серии простейших экспериментов, результаты которых формулирует в следующей записи "Атлантического кодекса":

"Ты найдешь такую же силу и сопротивление в соединении 9 балок равного качества, как в девятой части каждой из них. ab (рис. 184) поддерживает 27 и составляет 9 балок, а, следовательно, cd, являющаяся девятой частью их, поддерживает 3, если это так, то ef, являющаяся девятой частью длины cd, будет поддерживать 27, так как она в 9 раз короче ее" (С. А-152 r. а.).