Гуковский М.А. Механика Леонардо да Винчи, 1947

Предыдущая страницаСледующая страница

Часть четвертая. МЕХАНИКА ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ - Глава 3. ВЕС И РЫЧАГ

§ 5. Приложение закона рычага - нить, укрепленная за два конца (продолжение)

Мы не можем быть уверены в том, что Леонардо смог сам отличить приведенное правильное решение от двух вышеизложенных неправильных. Но, по-видимому, он все же придавал данному месту особое значение, так как только в нем он не ограничивается формулировкой обязательной закономерности, но дает и нечто вроде доказательства ее. В этом обосновании он, как обычно, не идет по пути строгого геометрического доказательства; он и не мог его дать, не умея построить параллелограмм сил, но он применяет рассуждение, которое неоднократно применял при рассмотрении разложения или сложения сил или движения (например, при рассмотрении отражения при ударе, см стр. 541). Он рассматривает два предельных случая, при одном из которых вес будет равен нулю, при другом равен весу s; отсюда он заключает, что так как s и ab остаются постоянными, то по мере роста са от нуля до ab вес Р в такой же мере растет от нуля до величины s; следовательно, когда са есть четверть ab, то и вес р есть четверть веса s и т. д.

В этом рассуждении, составляющем часть приведенного выше отрывка, ничего не говорится о необходимости для угла n быть прямым. А именно эта необходимость, чего, возможно, не сознавал Леонардо, является в данном случае основной и наиболее важной. Только введя в круг величин, которыми он оперирует угол между ветвями нити, Леонардо мог и должен был притти к правильному результату.

Нетрудно, однако, убедиться в том, что правильный результат, полученный в последней из приведенных нами записей, даже если Леонардо выделял его из ряда других неправильных результатов, имел, слишком частный, единичный характер чтобы на нем можно было основываться. И действительно, в начале "Кодекса Арундель", датированном 1508 г., мы имеем на двенадцати первых страницах попытку пересмотреть вопрос о распределении веса между двумя поддерживающими нитями. Место это является единственным образцом сводной трактовки одного вопроса на ряде страниц в дошедшем до нас научном наследии Леонардо. Именно поэтому записи первых листов "Кодекса Арундель" представляют для нас особый интерес, несмотря па что, мы все же принуждены будем, для краткости, не полностью привести и даже не полностью пересказать эти листы.

Начиная с рассмотрения поведения груза, подвешенного на двух нитях на плечах равноплечих весов, он дает четыре рисунка и подними чрезвычайно краткий текст:

"Груз, подвешенный к плечу весов на двойной нити (рис. 135), будет всегда иметь свой подвес, который или целиком или частично будет потенциальным подвесом" (Аr. 1 r.).

В этом утверждении заключается правильная констатация того, что для равновесия весов решающим является перпендикуляр на плечо, восстановленный из центра тяжести груза, подвощенного на двух нитях. Ни в какой мере не доказывая это утверждение, очевидно полученное экспериментально, и помечая на концах нитей нагрузки, пропорциональные расстоя- ниям до вертикали из центра тяжести, в соответствии со своей изложенной выше неправильной теорией, Леонардо обращается на следующей странице к детальному рассмотрению этого же опроса, надеясь, очевидно, найти обоснование выставленного им положения.

"По 4-й 9-го здесь (рис. 136) распределение естественной тяжести не изменяется при изменении больших или меньших углов, образуемых нитями в их соединении с грузом, но изменяется только приобретаемая тяжесть, увеличивающаяся с увеличением угла, образуемого нитями.

"По 6-й 9-го груз 3 (рис. 137) не распределяется на реальные плечи весов в той пропорции, в какой находятся эти плечи, но в той пропорции, которую имеют между собой потенциальные плечи.

"В этом примере изменен только естественный вес, приобретаемый же вес остается неизменным, если не изменяется наклонность нити bc" (Аr. 1 v.).

В первом абзаце этой записи Леонардо впервые в данной связи вводит понятие приобретаемого веса — "gravitas secundum situm", введенное, как мы помним, Иорданом Неморарием и привлекавшееся О Леонардо не раз при рассмотрении равновесия простых весов, равновесия на наклонных плоскостях и т. п. Как и в других случаях, понятие "gravitas secundum situm", само по себе довольно неопределенное, в данном случае обозначает силу, действующую в условиях данной задачи; в современной терминологии это — составляющая силы тяжести подвешенного груза, действующая в направлении нитей. Утверждение же первого абзаца правильно констатирует, что при том же весе груза и при тех же расстояниях точек подвеса до вертикали из центра тяжести груза большие углы прогиба дают большее натяжение нити.

При этом цифры, поставленные в точках укрепления концов нити, показывают, что, по мнению Леонардо, естественный вес распределяется пропорционально расстояниям этих точек до вертикали, т. е. независимо от угла, образуемого нитью, что также правильно. Таким образом, утверждение первого абзаца и первого рисунка может быть расшифровано так: естественный вес груза, подвешенного на нити, разделяется на две части, обратно пропорциональные расстояниям от вертикали до точек укрепления нитей; но к этому естественному весу прибавляется еще некоторая добавка, величина которой зависит от величины угла, образуемого нитью, и растет вместе с ним. Оба эти утверждения, как мы уже говорили, хотя и достаточно неуклюжи, но правильны.

Второй и третий абзацы записи как бы дополняют и углубляют утверждения первого абзаца. Действительно, второй абзац уже определенно констатирует, что окончательный вес по положению груза, подвешенного на нити, разделяется между концами нити обратно пропорционально потенциальным плечам или перпендикулярам из пересечения вертикали со стержнем на направления нитей.

Это утверждение также (как легко убедиться) совершенно правильно, оно опять-таки приводит к учету угла, образуемого направлениями ветвей нити и определяющего собой натяжение этих ветвей.

Наконец, третий абзац констатирует как бы следствие из предшествующего, что приобретаемый вес каждого данного естественного груза не изменяется, когда этот груз укреплен на нити с определенным наклоном, если при этом не изменяется угол этого наклона.

Третий лист кодекса вводит весьма характерный вспомогательный прием, пользование каковым мы подразумеваем в доказательстве закона рычага, данном Альберти:

"Для того чтобы в таких расчетах иметь дело с целыми числами, всегда нужно брать величины весов равными числу частей, на которые разделены плечи весов, на каковые ты их хочешь подвесить, и разделить на равные части отношения весов и плеч и затем переменить местами отношения; и так ты сделаешь с каждым грузом, и будет хорошо" (Аr. 3 r.).

После разъяснения технического приема уравнения общего числа единиц длины на плечах весов и общего числа единиц веса в грузе, следует пример, демонстрирующий изложенный нами выше способ разделения естественного веса груза между двумя концами нити; затем делается следующая характерная оговорка:

"Рычаг плеча db (рис. 138) и плеча bf осуществляется линией de. и линией fе, и если бы эти плечи были сделаны из вещества, которое бы не сгибалось, то привешенный груз 8 разделялся бы на 2 равные части и из них 4 чувствовало бы ed и 4— ef, но так как это нить, то она подчиняется закону 4-ой 9-го" (Аr. 3v.).

Здесь Леонардо уже четко отмечает невозможность безоговорочно сводить вопросы гибкой нити к жестким рычагам.

Следующая запись той же страницы окончательно устанавливает зависимость натяжения нитей от образуемого ими угла.

"Груз, укрепленный в углу нити, будет передавать тем больший вес нити, чем больше будет этот угол.

"То тело будет оказываться более тяжелым, которое более удалено от центральной линии укрепления своей опоры.

"Так здесь (рис. 139) грузы р, q, I, n, укрепленные в углах n, т. s, о. Грузы эти расположены, как указано выше, т. е. они одинаково удалены от центральной линии своего укрепления, но, несмотря на это, они не равны потенциально (in potenzia) в такой же мере как они равны по естественной тяжести, и происходит это оттого, что углы нити, в которых они укреплены, не одинаковы по величине" (Аr. 3 v.).

После этой констатации, как бы развертывающей краткое утверждение первого абзаца первой страницы, дается подробное изложение второго абзаца этой же страницы, ответ на коренной вопрос: как же распределяется "по положению" вес груза, подвешенного на нити?

"Здесь разыскивается, какую часть веса 4 (рис. 140) чувствует нить an и какую — нить fn.

"Найди число, делящееся на 3 и 4, например 12, на него раздели линию ас и также линию df, затем посмотри, что из них остается вне центральной линии bg, а именно части аb с одной стороны и ef — с другой, каковые являются реальными плечами весов. И ты скажешь, что аb есть половина двенадцати, т. е. 6, и ef есть 3/4 двенадцати, т. е. 9. Итак, здесь при реальных плечах весов ab и ef потенциальные плечи будут ет и ео" (Аr. 3 v.).

Высказанное здесь довольно пространно правильное утверждение не доказано, а только разъяснено построением очевидно, доказательство было не по силам Леонардо, так как требовало четкого представления о разложении сил, к которому он, как мы неоднократно видели, подходил вплотную, но в котором не мог вполне разобраться.

На следующей странице Леонардо напоминает о том, что кроме действия веса в каждой ветви нити надо принимать во внимание противодействие, вызываемое другой нитью Место это, несмотря на его интерес, мы не 
приводим, чтобы не затруднять читателя в нелегком следовании его по этапам развития мысли 
Леонардо. Затем он переходит к новой попытке установления закона распределения веса груза между ветвями нити:

"Здесь (рис. 141) полуреальный подвес асе встречается с потенциальным плечом de весов dc и de; плечо это в 4 раза короче плеча dc и, следовательно, в 4 раза сильнее, чем это плечо dc, почему необходимо нагружать его четырьмя такими весами, сопротивляющимися опусканию плеча dc с укрепленным на нем грузом. Из этого можно заключить, что 4 фунта в а сопротивляются опусканию 1 фунта, помещенного в с, так как нить acd натянута двумя равными силами (р), т. о. 4 с одной стороны и 4 с другой, каковые 8 фунтов являются приобретенной тяжестью, если такая нить будет только привязана своими концами без других противовесов. Затем имеется один фунт естественного веса, укрепленный в с. Итак, названная нить выдерживает 9 фунтов весу" (Аr. 4 r.).

Не занимаясь в данной связи разбором последних слов записи, мы в остальном ее содержании видим попытку уточнить двукратно высказанное ранее утверждение о зависимости между натяжением ветвей нити и потенциальными плечами. При этом Леонардо утверждает, что сила натяжения ветви так относится к весу груза, как длина потенциального плеча de относится к длине реального плеча cd, т. е. если добавить к чертежу пунктиром линию тn, изображающую составляющую силы тяжести груза, действующую по направлению правой ветви нити. Оно близко к истине, когда — близко к 90° , т. е. когда угол, образуемый нитью, весьма велик: при малых же величинах угла, а оно значительно отличается от действительности.

Как из характера доказательства, так и из характера рисунка, объясняющего его, с несомненностью можно утверждать, что установленный выше неправильный закон выведен Леонардо из опыта. Действительно, когда угол будет равен, примерно, 82°, и практически натяжение нити будет почти точно в четыре раза больше величины груза с. Получив такой результат и установив ранее, что натяжение зависит от потенциального плеча, Леонардо строит свой рычаг cde с реальным плечом cd и потенциальным de, которому фактически ничего не соответствует.

Однако дальнейшее экспериментирование должно было показать Леонардо ошибочность его утверждения, и в дальнейших листах кодекса он старается подойти к вопросу иначе.

"Здесь (рис. 142) естественный вес есть 2 и всегда так распределен, как этот, поровну между своими опорами ab и ас. Затем прибавляется к каждой из этих опор приобретенный вес, который должна принять нить, тянущая этот груз вне его перпендикуляра. И этот приобретенный вес будет настолько больше или меньше, насколько естественный вес будет больше или меньше вытянут вне названного перпендикуляра. Кроме того, прибавляется третья сила (р), имеющая также естественную тяжесть. Это тяжесть противоположного противовеса, который постоянно должен быть равен своему противоположному, даже если бы он не существовал в действии (in atto) и нить была бы только укреплена жесткой связью за свои концы к чему-нибудь; следовательно, надлежит считать, что здесь существует сила (р) сопротивления, равная весу...

"Пусть будет нить bас, поддерживающая в углу а груз 2, каковое 2 является естественным весом, и этот вес, будучи поддержан двумя нитями, по необходимости распределяется поровну между каждой из них, отчего каждая нить испытывает один фунт. Затем прибавляется к каждой приобретенный вес, рождающийся от веса 2, оттянутого во вне направления своего перпендикуляра. Если при данном расположении вес оттянут под середину линии 6с и встречается с ней в точке е, эта нить bа нагружается половиной той величины, которую поддерживала ас, когда была перпендикулярной, откуда происходит, что эта нить bа поддерживает полтора фунта. И то же делает нить ас. Остается, что нить bа с одной стороны поддерживает вес а, с другой — противовес, дающие вместе 3 фунта" (Аr. 4 v.).

Последний абзац базируется на разобранном нами выше (см. стр. 495) мнении Леонардо о необходимости суммирования действия и противодействия. Основное же его содержание сводится" невидимому, к тому, что добавка веса по положению равна такой доле естественного веса, падающего на данную ветвь нити (хотя в тексте говорится о всем весе), какую часть расстояния между двумя подвесами составляет расстояние между вертикалью из центра тяжести груза и противоположным подвесом, т.е. натяжение данной ветви нити P, причем Q — вес груза. Из этого утверждения, однако, следует, что натяжение нити не зависит от угла, образуемого нитью, что противоречит всем вышеприведенным соображениям. Очевидно, Леонардо, оперируя с углом нити, близким к прямому, при котором приведенная формула действительно примерно правильна, пытается сформулировать по-новому закон натяжения нити. Но он впадает в противоречие с тем, что говорил раньше, и, наверное, скоро замечает из опыта неприемлемость этой новой формулировки. На это указывает уже и то построение, которое он добавочно дает на чертеже, опуская перпендикуляр на направление нити и рассматривая, по-видимому, прямоугольный треугольник ecd, соотношение сторон которого и должно было привести его к правильному решению. На следующем листе (5v.) он в несколько других выражениях повторяет рассуждение листа 268 v. "Атлантического кодекса", рассмотренного нами выше, для случая, при котором нити образуют прямой угол, т. е. выправляет ошибку вышеприведенного рассуждения, не принимающего во внимание угол.

Наконец, на следующем листе Леонардо рассматривает соотношения сторон прямоугольного треугольника, определяющего собой угол прогиба а следовательно, и натяжение ветвей нити.

Опора (ряс. 143) полностью нагружается соединенным с нею весом, опускающимся по прямой линии на этот вес, согласна тому, что сказано на полях противолежащей страницы, и при таких расчетах весов надлежит иметь дело с плечами 2 r и 2-4, Рычаг 2 r кончается в соединении под прямым углом с подвесом ar, противорычаг же 2-4 кончается в соединении под прямым углом с подвесом 4 и 4, т. е. подвесом веса" (Аr. 6 r.).

Утверждение, заключающееся в приведенных словах, совершенно правильно и дает, наконец, вполне соответствующее действительности и общее решение для случая подвеса груза в середине между точками укрепления, расположенными на одной высоте. Это и утверждает Леонардо, предлагающие для определения натяжения ветви нити рассматривать рычаг, одно из плеч которого равно 2-4, прячем на нем подвешен данный груз, а второе — 2 r; на последнее подвешен искомый груз, который может быть определен из этой пропорции.

Приведенная запись не только дает правильное решение запроса, над которым столь долго и упорно бился Леонардо, но позволяет с несомненностью выяснить, как Леонардо пришел к этому решению.

Действительно, имеющееся на чертеже вспомогательное построение показывает, что рассматриваемый случай сначала сводится к уже получившему правильное решение случаю с прямым углом, образуемым нитью. Когда же угол ? уменьшается, то уменьшается и 2 о, причем легко заметить на опыте, что ns, т. е. натяжение нити, увеличивается. Следовательно, можно сделать предположение, что пропорция приобретает для острого угла и можно построить рычаг с плечами 2 • 4 и 2r.

Таким образом, и в данном случае, как в ряде предыдущих, Леонардо продвигается вперед ощупью: он обобщает результаты, получаемые из данного опыта, и заключает подмеченную им тенденцию в форму привычной ему пропорциональности, которая потом осмысляется как частный случай закона рычага и затем опять проверяется на ряде следующих опытов. При таком способе неизбежны ошибки, неизбежно выведение неправильных законов, часть которых мы разобрали выше. Но, с другой стороны, контрольная инстанция опыта неукоснительно должна, в конце концов, указать на правильный путь в тех случаях, когда все понятия, связываемые данной закономерностью, допускают более или менее точное измерение средствами, имеющимися в распоряжении Леонардо.

Добившись правильного и общего: решения, Леонардо тут же показывает применимость его для различных частных случаев как при острых, так и при тупых углах а, образуемых нитью.

"Здесь (рис. 144) потенциальный рычаг db в шесть раз больше своего потенциального противорычага bc, из чего следует, что 1 фунт, помещенный на подвесе, равен по силе (p) 6 фунтам, помещенным в полуреальном подвесе са, и еще 6 фунтов силы (p) прибавляет b. Итак, нить aeb, при помощи фунта, помещенного в an, испытывает силу в 12 фунтов...

Большее плечо весов от и on (рис. 145) никогда не будет вдвое больше одно другого, если их подвесы nа и тр не будут параллельны, что невозможно, так как эти подвесы, соединяясь образуют угол р, и если бы эти линии не соприкасались, тогда угол уничтожился бы вместе с плечами этих весов. По тому что сказано в предпоследнем, плечо on превышает меньше чем в два раза, почему подвес его испытывает больше половины веса р; это "больше" будет находиться в таком отношении со всем весом р, какое имеет часть, не хватающая on для того, чтобы стать вдвое большим, чем от со всем плечом. И все это "больше" есть приобретаемый вес" (Аr. 6 r.).

Предыдущая страницаСледующая страница