Проблема равновесия на двух наклонных плоскостях возникла у Леонардо, как мы упоминали выше, невидимому в связи с его работой над условием равновесия коленчатого рычага в качестве одного из частных случаев, каких он разбирает весьма значительное количество. Из множества этих случаев он большую часть разбирает мимоходом, в одной-двух записях, некоторым уделяет значительно больше, а совсем небольшому числу случаев — очень много места и времени. Из таких очень подробно рассмотренных Леонардо частных задач на коленчатый рычаг на первом месте, несомненно, стоит рассмотрение с разных точек зрения нити, укрепленной за два свои конца и провисающей под действием либо собственного веса, либо подвешенного к ней в середине груза. Рассмотрение это занимает начало и значительную часть середины "Кодекса Арундель" и очень большое место в более позднем кодексе "Е"; относящиеся к нему страницы, взятые вместе, составляют, пожалуй, самую большую из всех глав, отведенных Леонардо не только механике, но и любому частному научному вопросу. Несомненно, что такой усиленный интерес к данному кругу вопросов находился в тесной связи с запросами техники, интересовавшими Леонардо еще в период его усиленной инженерской деятельности во время его первого пребывания в Милане.

Весьма возможно, что связующим звеном здесь являлись упомянутые нами работы над тамбуром Миланского собора, требовавшие расчета прочности перекрытий, арок и сводов; в построении последних немалую роль играли цепи, тросы, канаты; размышления над их нагрузкой и сопротивляемостью, возможно, и привели Леонардо к проблеме нити, укрепленной за два конца. Как бы то ни было, но уже в относящихся к первому миланскому периоду записях кодекса "А" мы находим отражение первых работ его над этим вопросом или, вернее, комплексом вопросов. Уже в этих ранних записях Леонардо ставит перед собой все те частные проблемы, которыми будет усиленно заниматься в дальнейшем: во-первых, основную проблему — как нагружаются ветви нити, когда к ней, не в середине, подвешен определенный груз; во-вторых, можно ли и какими грузами выпрямить нить, провисающую под действием подвешенного между точками укрепления груза; и, в-третьих, где порвется излишне нагруженная нить, подвешенная за два конца. Рассмотрим все эти проблемы в постепенной их разработке.

Первая проблема, как уже сказано, является основной и разработана Леонардо наиболее подробно. Первый подход к проблеме, правда, поставленной несколько иначе, чем выше сказано, мы находим в кодексе "А". Здесь Леонардо пытается определить, как провиснет нить, концы которой укреплены на двух опорах разной высоты, и уже затем переходит к распре- делению нагрузки между двумя опорами. Запись эта такова:

"Предложение. При самом низком положении дуги (рис. 126), образуемой нитью, более длинной, чем расстояние между ее концами, и поддержанной на этих концах двумя опорами разной высоты, она будет касаться земли ближе к меньшей опоре во столько раз, сколько раз меньшая высота содержится в большей.

"Например, если опора ab помещается 2 раза в большей "поре cd, то расстояние, остающееся между eb, помещается также 2 раза в de.

"Весомое тело, подвешенное на нити, концы которой укреп лены на двух опорах разной высоты, будет лежать между равными углами, основания которых будут тем более широки одно, чем другое, чем один конец будет более высок по сравнению с другим.

"Предложение. Вес, подвешенный на нити и могущий свободно опускаться до наиболее низкого положения своей дуги, остановится между пирамидами равных пропорций (infra aequali proportioni di piramide — имеются, очевидно, в виду площади треугольников) (рис. 127).

"Предложение. Вес, расположенный между пирамидами равных пропорций, будет тем более близок к одной из своих опор, чем к другой, сколько раз меньшая помещается в большей.

"Предложение. Груз, подвешенный к дуге свободно висящей нити, будет отдавать тем большую часть своего веса одной из опор, чем другой, чем одна меньше другой, или чем меньше одно другого основания двух пирамид, или чем меньше одна часть нити по сравнению с другой.

"Предложение. Невозможно, чтобы вес остановился на нити на середине расстояния между двумя неравными опорами, если даже этот вес опустится до самой низкой глубины центра земли" (А. 48 r.).

Приведенная запись, не использованная, насколько нам известно, ни одним из исследователей механики Леонардо, весьма интересна. Будучи помещена в тетради между различными другими записями, относящимися к вопросу о нагрузке и прочности сводов, она подтверждает наше предположение о тесной связи между строительными работами Леонардо и усиленным вниманием к проблеме нагрузки нити, укрепленной на двух опорах; эта же запись показывает лишний раз, и притом весьма разительно, как глубокое техническое чутье Леонардо подводило его к исключительно тонкой и правильной постановке вопросов, для своего ответа требовавших больше математических навыков и знаний, чем их было у самого Леонардо и у многих поколений механиков, живших после него, не исключая и великого Галилея. Действительно, достаточно открыть ременный подробный курс теоретической механики , чтобы убедиться в близости рассматриваемой Леонардо задачи провеса нити под действием собственной тяжести к задаче определения давления в своде: последняя, насколько можно судить из всех записей кодекса, окружающих данную, и была основной для Леонардо. Он, очевидно, столь глубоко проникал в сущность рассматриваемых и обдумываемых им технических явлений, что приходил к сближениям, которые затем не мог ни теоретически обосновать, ни полностью использовать.

Самый подход Леонардо к поставленной им задаче определения провеса нити, несомненно, был вначале чисто экспериментальным. Установить две опоры с высотами, относящимися, как один к двум, подвесить на них нить и измерить расстояние между ее наинизшей точкой и опорами было делом нетрудным. При этом Леонардо, конечно, без особого труда установил, что расстояние между низшей точкой и более высокой опорой значительно больше, чем расстояние между той же точкой и низкой опорой. Хотя полной пропорциональности между высотами опор и расстояниями не получалось, Леонардо все же счел возможным сформулировать закон, гласящий, что расстояния пропорциональны высотам; он полагал, что всякий физический закон должен иметь вид простой пропорции, и учитывал, как он обычно делает, неизбежные неточности опыта — трение в точках укрепления, сопротивление воздуха при падении тел и т.п. .

Мы уже говорили, что более точное определение провеса нити под действием собственной тяжести было, конечно, совершенно не доступным для Леонардо. Вообще эта задача, возможно, при первом же подходе, оказалась слишком сложной, во всяком случае, в своих дальнейших записях Леонардо возвращается к ней только мимоходом. Зато утверждение, заключающееся в четвертом из предложений, приведенной выше, записи кодекса "А", в дальнейшем все в большей и большей мере занимает его. Предложение это гласит: груз, подвешенный в свободно висящей на двух опорах разной высоты нити, так распределяет свой вес между этими опорами, что части этого веса обратно пропорциональны высотам опор, или расстояниям точки наибольшего провеса до опор, или соответствующим длинам нити.

Совершенно естественно, что, перейдя от технических задач по конструированию и расчету арок и сводов к рассмотрению вопросов, связанных с висящей на двух опорах нитью Леонардо наиболее заинтересовался именно теми, которые касались нагрузок, распределения тяжести на опоры. Вполне понятно, что именно эта проблема оказалась в его занятиях на первом плане.

Легко убедиться в том, что утверждение, высказанное Леонардо, неправильно и сформулировано им опять-таки на основе стремления дать простейшее соотношение пропорциональности. Действительно, натяжение нити, укрепленной на более низкой опоре, будет больше натяжения нити, укрепленной на опоре более высокой, поскольку натяжения нити обратно пропорциональны косинусам углов между направлением нити и горизонталью, а у малой опоры угол этот будет большим. Но, установив это и не имея возможности точно измерить разницу давлений, Леонардо, принимающий углы между наклонами нити и горизонталью равными, а отношение между основаниями равным отношению между высотами, естественно, предполагает, что вес тела, подвешенного в наинизшей точке нити, разделяется в том же отношении. Так, если одна опора вдвое выше другой и подвешенный груз равен трем, малая опора несет 2 и большая 1, что неправильно.

То же утверждение высказывается Леонардо и в другой записи этого раннего кодекса "А":

"Груз, подвешенный сверху над нитью или поддерживаемый снизу на балках, укрепленных своими концами в разных местах, будет отдавать тем большую часть своего веса одной опоре, чем точка опоры одной будет ближе к перпендикуляру, опущенному из центра груза, по сравнению с другой — соседней" (А. 47 v.).

Вышеприведенное правило Леонардо, несомненно, базировал на простейших экспериментальных данных; так, он, (мы в этом убедимся несколько ниже) для определения давлений обоих концов нити не укреплял их на опорах, а держал в руках и просто, по ощущению, определял разности весов.

Несколько другой способ экспериментирования мы видим в продолжении только что приведенной нами записи кодекса "А", которое прекрасно рисует всю обстановку ранних работ Леонардо над данным вопросом.

"Во всякой подвешенной вещи, способной гнуться, та часть, которая будет более удалена от своих опор, если только вещь эта имеет равномерную толщину и состав, будет больше опускаться из своей первоначальной прямизны (рис. 128).

"Вес, подвешенный на конце рычага bа, сделанного из любого вещества, будет поднимать тем больший вес на конце противорычага сb по сравнению со своим весом, сколько раз противорычаг помещается в рычаге (рис. 129).

"Если свод (l´arco) при своем стремлении сломаться действует с силой (fa jorza) 200 фунтов, то прибавь ему для сопротивления (per contralto) 200 фунтов веса или силы, и будет хорошо" (А. 47 v.).

В приведенной записи мы, во-первых, опять встречаем подтверждение правильности нашего предположения, что к проблеме провеса нити и нагрузки ее концов Леонардо пришел от своих строительных работ, в частности работ над арками и сводами; во-вторых же, видим, что вопрос о нагрузке нити подвешенным грузом он пытается свести к простому прямолинейному рычагу. Так, из второго рисунка сопровождающего его текста ясно, что он рассматривает каждую половину нити от точки подвеса груза до места схода со шкива как прямолинейный рычаг, одним плечом которого является радиус шкива, а другим — длина нити от центра шкива до точки подвеса. Делая такое предположение, Леонардо приходит к заключению, что в частном случае, изображенном на рис. 129, при радиусе шкива, помещающемся в длине нити до точки подвеса 30 раз, груз в 600 единиц веса будет поддерживать в горизонтальном положения груз в 20 единиц.

Предположение, делаемое Леонардо, однако совершенно ошибочно, так как он не принимает во внимание направление действия сил и считает гибкую нить твердым плечом рычага. Впрочем, Леонардо, по-видимому сам, экспериментируя, убедился в неправильности своего утверждения, так как на рисунке изобразил вес в 20 единиц не свободно висящим положении равновесия, а подпертым особой колонкой.

Несколькими страницами ниже в этом же кодексе "А" Леопард" с теми же критериями подходит к разрешению второй из названных выше проблем, логически вытекающей из только что рассмотренной постановки вопроса. Он пытается дать ответ на вопрос: возможно ли любыми грузами, подвешенными на концах нити, перекинутых через блоки, выпрямить нить, провисающую под действием груза, подвешенного в ее середине?

"О грузах (рис. 130).

"Невозможно выпрямить нить, длина которой равна 100 локтям, если она подвешена между шкивами с расстоянием в 100 локтей и на каждом подвешен вес в 1000 фунтов. Я утверждаю, что если ты подвесишь один вес в середине этой нити, весящей 100 фунтов, то нить раньше лопнет, чем поднимет, выпрямляясь, свой груз. И кажется почти невероятным утверждение, что 2000 фунтов веса, укрепленного на концах нити, не должны поднять 200 фунтов, т. е. вес нити и вес, помещенный в середине нити. Причина же этого та, что вес, помещенный в середине нити, производит то же самое действие (ofitio) на противовес в 1000 фунтов, которое производил бы такой те вер привешенный к концу рычага длиной в 40 локтей. Следовательно, для того чтобы найти истину в отношении этого действия т. е. возможно ли, чтобы вес в 2000 фунтов выпрямил нить, измерь диаметр шкива (delsocio della girella), поддерживающего вес в 100 фунтов, и посмотри, сколько раз половина этого диаметра помещается в расстоянии между ? шкива и ? веса в 100 фунтов по линии оrа, и так как эта часть диаметра, а именно or, помещается 200 раз в расстоянии до (точки, помещающейся) над серединой нити, и также поступает другая половина, что дает 400, то, следовательно, 400 на 100 дает 40000 и, кроме того, имеется вес нити. Таким образом, закон (la regola) веса, (привешенного) под (нитью), таков, что, будучи длинной, она не выпрямится, не порвавшись" . (А. 51 v.).

Здесь Леонардо, в противоречии с ранее приведенной записью, высказывает вполне правильное утверждение, наверное, без особого труда полученное им экспериментальным путем, что любые грузы на концах не выпрямят нить, нагруженную в середине. Но объяснение, которое он дает этому правильно подмеченному, по его мнению, весьма поразительному, явлению, идет по неправильному пути, приведшему его раньше к неправильному результату. Он рассматривает нить и в данном случае как рычаг с точкой опоры в центре шкива.

Несклонный вообще удовлетворяться чем бы то ни было, Леонардо не удовлетворяется и этим неправильным объяснением; он продолжает размышлять и экспериментировать над вопросом распределения веса, подвешенного в середине между опорами. Две записи, относящиеся к 1499 г., мы находим в "Атлантическом кодексе". Одна из них, более короткая, показывает исследователя — опять-таки экспериментирующим, с одним концом нити в руке, в то время как другой натягивается грузом:

"Попробуй (sperimenta) держать рукой нить в сn и посмотри, сколько веса помещенного в f, заставит вес r находиться под c. В том отношении, в котором находится линия тn с линией nf, будут находиться и вес f с весом т" (С. А. 158 v. b.)(рис. 131).

Из суммарной записи следует, что Леонардо разделил расстояние между шкивами на определенное число частей, подвесил в какой-либо части этого расстояния нить, вертикально натянутую грузом, и затем, держа в руке левый конец второй основной нити, нагруженной определенным грузом, правый конец нагружал различными грузами до тех пор, пока подвес груза на основной нити не совпадал с подвесом вспомогательным. При этом он получал треугольники провеса с определенным соотношением катетов и гипотенуз, что определяло и углы между ними. Поэтому Леонардо, для получения правильного решения, оставалось только сказать, что составляющие силы тяжести груза обратно пропорциональны отношениям между длинами ветвей нитей и их расстояниями до вертикали. Но для него такое решение слишком сложно, и он считает составляющие обратно пропорциональными длинам ветвей нити, что неправильно. Как пришел Леонардо от вышеописанного эксперимента к данному неправильному выводу, не вполне понятно, так как цифры и вспомогательные линии на чертежах, сопровождающих приведенный тест, нам расшифровать не удалось.

К тому же времени, по-видимому, относится и вторая датированная (одна из немногих относящихся к механике) запись:

"В первый день августа 1499 г. я написал здесь о движении и весе. Вертикальная нить (рис. 132) укреплена в n. и не может двигаться.

"Возможно, что если груз подвешен к одной стороне веревки, простейшим образом поддерживаемой блоком, то такой груз может быть перевешен другим — меньшим грузом, подвешенным на противоположной стороне нити, но движения их никогда не будут равными; наоборот, одно движение будет находиться в таком отношении с другим, в каком один вес будет относиться к другому, но обратном. Например, скажем, что одна из сторон нити, поддерживаемая одним блоком, будет ms, другая сторона будет тс; я говорю: если малый вес опускается, сгибая веревку fm до тех пор, пока груз не поднимется, он произведет все движение, подобное ab, и отношение, которое будет существовать между nа и ab, окажется тем же, что между s и весом с. И это ясно из приведенной выше пропорциональности движения. Обрати внимание на то, что окружность (дуга) nbd изображает "постоянно истинную длину нити nт, а остальное, выходящее за эту окружность (дугу), есть вся нить, недостающая в стороне ms, и таково будет постоянно движение, производимое грузом s, если нить не удлиняется, каковое явление выходит за пределы правила и есть случайность (cosa accidentale), и общий закон для него не может быть дан..." (С. А. 104 r. b.).

В данной записи мы, очевидно, находим отражение эксперимента, близкого к описанному выше. Правый конец нити держится в руке или укреплен наглухо, и вертикальная нить служит опять указанием положения центрального груза. При этом Леонардо констатирует, во- первых, то, что груз с, даже будучи меньше груза s, может поднимать его, что правильно, когда угол тcf больше 120°. Затем высказывается положение, что длина провеса нити, равная nс, так относится к подъему груза s, как самый груз s относится к грузу с.

Утверждение это неправильно, но оно свидетельствует о страстном стремлении, характерном для Леонардо, никогда не удовлетворявшегося достигнутым, найти какие-то зависимости, которые бы связывали между собой отдельные элементы упорно разрешаемой им задачи. При углах прогиба, близких к 60°, Леонардо вряд ли мог заметить ошибочность своего искусственного закона. Но, увеличивая угол или же груз, привешенный в середине нити, он легко мог обнаружить эту ошибочность. Он, наверное, ее и обнаружил, так как в близкой, по-видимому, по времени записи того же "Атлантического кодекса" уже ни словом не упоминается вышеприведенный закон.

Запись эта гласит:

"Если нить, которая поперечно тянет подвешенное тело, будет соединена с верхним концом нити, поддерживающей вес под прямым углом, то ты найдешь, что вес движущий будет находиться в таком отношении с весом движимым, в каком находятся между собой ширина между перпендикулярами пределов движения и длина нити, поддерживающей вес.

"an (рис. 133) есть поддерживающая нить; nf есть нить, которая тянет вес в поперечном направлении; n — прямой угол, образующийся в месте соединения двух нитей.

"Итак, я нахожу, что груз, имевшийся в b, весом 1, перетянут в n, и что перпендикуляры пределов движения b и n, т. е. ab и cn, отстоят друг от друга на меру, помещающуюся 4 раза в поддерживающей вес нити, т. е. an, а следовательно, движущий вес 1 будет 4 раза помещаться в весе n, движимом им.

"Причина этого та, что, когда груз укреплен на нити ab (рис 134), весь вес b находится в a, f же не чувствует ничего; когда же груз будет в da, весь вес будет в d, и а будет совершенно лишено его. Мы имеем, что каждая середина равно участвует в равных концах, т же находится на середине линии ас; и если, когда груз был в b, а чувствовало его полностью, то так же поступает d, когда вес находится в с; когда же он находится в середине, то вес поддерживает r, каковое находится перпендикулярно над четвертью движения, следовательно, четверть веса b будет весом, который груз b будет передавать в r" (С. А. 268 v. b.).

В данной записи отражен, очевидно, следующий этап опытов Леонардо, дающий вполне правильный результат. Нить опять одним своим концом укреплена неподвижно, другой же натягивается грузиком, перекинутым через шкив. Нить нагружена определенным весом, в данном случае равным 4. Затем к концу нити, перекинутой через шкив, прикрепляется также определенный грузик, в данном случае 1, причем шкив помещается так, чтобы угол между двумя ветвями нити был равен 90°. Проверя ряд опытов на такой установке, меняя грузики на свободном конце нити и пытаясь установить какое-нибудь постоянное соотношение между отдельными величинами с которыми он оперирует, Леонардо и приходит к следующему утверждению: при прямом угле n груз, подвешенный в середине нити, будет так относиться к грузу, подвешенному на свободном конце ее, как расстояние между точкой подвеса нити и основанием перпендикуляра из центра тяжести тела на горизонталь относится к длине нити. Перпендикуляр этот в данном, как и в предыдущих опытах, по всей вероятности, изображался вспомогательной вертикальной линией, имеющей продольное перемещение.

Итак, если мы добавим в чертеже Леонардо (рис. 133) буквы s и p и обозначим ими грузы в середине и в конце нити, и разложив силу тяжести груза s на две взаимно перпендикулярные составляющие по направлениям nf и nа, мы получим из подобия прямоугольных треугольников ? can и ? оrn, что и требовалось доказать.